No lançamento simultâneo de dois dados comuns, a diferença (em valor absoluto) entre os dois resultados é aleatória, tem uma distribuição de probabilidades. Se os dados forem honestos, qual é a moda dessa distribuição?
.Sobre variáveis aleatórias, considere as afirmações a seguir.
I - Para toda e qualquer variável aleatória, sua função de densidade de probabilidade fornece a probabili- dade de ocorrência de cada valor da variável aleatória considerada, exceto no caso de variáveis aleatórias contínuas, para as quais a probabilidade de ocorrência de um valor específico é zero.
II - A esperança matemática (expectância) de uma variável aleatória discreta, ou seja, seu valor esperado, é a média dessa variável aleatória, que é definida como um navos do somatório dos valores possíveis dessa variável multiplicados por suas respectivas probabilidades.
III - A distribuição binomial é uma extensão direta da Distribuição de Bernoulli, uma vez que o experimento aleatório que caracteriza a binomial nada mais é do que um Experimento de Bernoulli repetido n vezes.
É correto APENAS o que se afirma em
Numa sala estão reunidos quatro auditores e seis fiscais. Se três dessas pessoas forem aleatoriamente sorteadas para formar uma comissão, a probabilidade de que a comissão seja composta por dois auditores e um fiscal é igual a:
Seja a variável aleatória discreta X número de acidentes em um cruzamento registrado em um mês. A probabilidade de que X seja menor ou igual a 2 (ou seja, que ocorram até 2 acidentes no cruzamento em um mês) vale 0,0015.
Qual é a probabilidade de que ocorram mais de 2 acidentes no cruzamento em um mês?
Considere duas variáveis aleatórias discretas X e Y, ambas com distribuição binomial. Sabe-se que: X: b (2, p) e Y: b (4, p). Se P (X ≥ 1) = 5⁄9 então P (Y = 1) é
Um experimento é composto pelo lançamento de 3 moedas honestas . A variável aleatória a ser considerada é o número de coroas observadas ao final desse experimento. Nesse caso, o espaço amostral a ser considerado é composto por quantos resultados?
Uma variável aleatória numérica contínua é uma variável que possui a característica de não se poder saber a priori o seu valor, além de ser
Dois dados comuns e “honestos” são lançados simultaneamente e os resultados são somados. A soma é uma variável aleatória cuja
A distribuição de probabilidades da variável aleatória X é tal que X = -1 com 50% de probabilidade ou X = 1 com 50% de probabilidade. A média, X , de quatro realizações de X, sucessivas e independentes, é uma variável aleatória de média e desvio padrão, respectivamente, iguais a
Julgue o item a seguir, considerando dois eventos A e B, de um
mesmo espaço amostral S, tais que P(A) > 0 e P(B) > 0.
Considere que IA e IB sejam, respectivamente, as variáveis indicadoras referentes aos eventos A e B, de modo que, por exemplo, IA = 1 se o evento A ocorre e IA = 0 se o evento A não ocorre. Nesse caso, a covariância nula entre as variáveis aleatórias IA e IB não garante que os eventos A e B sejam independentes.
Para orientar os investimentos em educação em certo município, um analista foi contratado para criar um ranking das escolas públicas desse município. Para cada escola, as variáveis disponíveis são a quantidade de turmas, a quantidade de alunos, a quantidade de professores, a nota da Prova Brasil e a área do terreno.
A partir dessa situação, julgue o item.
Considere que as áreas de todas as escolas desse município sejam distintas e que cada escola tenha obtido uma nota diferente na prova Brasil. Nessa situação, os modelos de probabilidade para variáveis aleatórias discretas são adequados para representar a distribuição de todas as variáveis analisadas por esse analista.
A respeito da teoria de probabilidades, julgue o item.
Com relação aos métodos estatísticos, julgue o item que se segue.
Suponha que no banco em que Ricardo trabalha, ele faça parte de um grupo de quatro administradores e que no mesmo banco existam também cinco economistas. Será formado um comitê composto por três administradores e três economistas, todos escolhidos aleatoriamente.
Qual é a probabilidade de o comitê formado ter Ricardo como um dos componentes?
Uma variável aleatória bidimensional discreta (X , Y) possui distribuição conjunta. Os valores assumidos pela variável X são {1 , 3}. Os valores assumidos pela variável Y são {-3 , 2 , 4}. Sabendo-se que:
P(X = 1 ∩ Y= - 3) = 0,1; P(X = 1 ∩ Y= 2) = 0,2; P(X = 1 ∩ Y = 4) = 0,2 P(X = 3 ∩ Y = -3) = 0,3; P(X = 3 ∩ Y = 2) = 0,1; P(X = 3 ∩Y = 4) = 0,1.
então, a expectância da distribuição de X condicionada a Y = -3 é igual a:
Sabe-se que a distribuição do quociente de inteligência (QI) de uma certa população é normal, com média 105 e desvio padrão 12.
Em uma amostra aleatória de 16 pessoas, retirada dessa população, qual a probabilidade de que a média dos QI dessas pessoas exceda a 110?
Considere a variável aleatória do tipo discreta(X), relativa às fases de andamento de um processo podendo assumir apenas três valores numéricos 1, 2 ou 3, conforme o mesmo esteja em conhecimento, liquidação ou execução, respectivamente. Se F(.) é a função distribuição acumulada correspondente, com F(1,17) = 0,15 e F(2,76) = 0,45. Então é verdadeiro que
Com relação ao Modelo Linear Generalizado (MLG) afirma-se:
I - Uma variável aleatória com distribuição uniforme pode ser variável resposta do MLG.
II - A função de verossimilhança é um critério muito utilizado para verificar o ajuste do MLG.
III - A componente sistêmica do MLG é caracterizada pelas variáveis explanatórias.
É correto apenas o que se afirma em
Considere o experimento de lançar um dado honesto, e seja X a variável aleatória discreta que representa a face superior do dado.
A média da variável aleatória Z = max{|X - 3|, 1} é dada por
Sejam X, Y e Z três variáveis aleatórias que apresentam as seguintes estatísticas elementares:
Var(X) = 4, Var(Y) = 25, Var(Z) = 16, Cov(X,Y) = Cov(Z,Y), Var(Z-X) = 8 e ρ ( X, Y) = 0,6
Com base em tais informações, é correto afirmar que:
Considere uma máquina fabril cuja operação tenha se iniciado às 8 h da quarta-feira do dia 2/1/2003 e haja se estendido durante cinco dias úteis por semana, sem feriados, de 8 h às 18 h. Considere, ainda, que essa máquina tenha produzido 400 peças, das quais 380 sejam aproveitáveis, até parar por quebra de um componente às 10 h do dia 12/2/2003. Com base nessas informações, julgue o item seguinte.
Variáveis aleatórias não possuem valores firmes, pois seus valores variam sob a influência de fatores casuais. Assim, conhecer uma variável aleatória não significa conhecer seu valor numérico nem enumerar seus valores possíveis, mas sim considerar as probabilidades de a variável assumir cada valor possível de saída de um experimento a ela associado.
Um instituto de pesquisa realizou uma investigação para apurar e explicar as razões de, em determinado município do estado de Goiás, 60% das mulheres na faixa etária de 20 a 30 anos estarem desempregadas. Os dados apurados revelaram que 90% das mulheres desempregadas têm pelo menos dois filhos, 70% não concluíram o ensino médio e 80% têm mães analfabetas. Procura-se dimensionar o impacto dos dados apurados no nível de desemprego deste grupo de mulheres. Qual é a variável dependente desta pesquisa?
Considere que a função geradora de momentos de uma variável aleatória discreta X seja dada pela relação MX(q) = (0,8 + 0,2eq)2, em que q ∈ ℜ. Com base nessas informações, julgue o item a seguir.
A variância de X é igual a 0,32.
Suponha que X é uma variável aleatória discreta tal que P(X=k) = c/n para K = 1, 2, 3, 4, ...., n2 , onde c é uma constante. Então, c é igual a:
Em relação aos conceitos de variáveis aleatórias discretas e contínuas, assinale a opção correta.
Considerando que Z e W sejam variáveis aleatórias independentes que seguem distribuição normal padrão, julgue o item subsequente.
A transformação 6Z + 3 resulta em uma distribuição normal
com variância igual a 9.
Considerando que Z e W sejam variáveis aleatórias independentes que seguem distribuição normal padrão, julgue o item subsequente.
Var(2Z + 3W) < 10.
Um criminoso está avaliando se vale a pena ou não recorrer ao instituto da colaboração premiada. Caso não recorra, a sua probabilidade de ser condenado é igual a p, com 12 anos de reclusão. Se resolver delatar, pode pegar 6 anos de prisão, com probabilidade de 0,4, ou 10 anos, com a probabilidade complementar.
Supondo que a decisão será tomada com base na esperança matemática da pena, o criminoso deve:
Suponha que o número de denúncias oferecidas por mês (30 dias) pelo Ministério Público seja uma variável aleatória discreta com distribuição de Poisson, com parâmetro λ = 12.
Se até o 10º dia de certo mês já tenham sido oferecidas três denúncias, a probabilidade de que até o final do mês (+20 dias) se tenham acumulado exatamente seis denúncias é igual a:
Sejam X, Y, W e Z variáveis aleatórias todas com distribuição normal-padrão, com X independente de Y e Y independente de Z. Já W é independente das demais.
Sobre algumas combinações dessas variáveis, é correto afirmar que:
Com referência a essas variáveis, julgue o próximo item.
Para todo q ∈ {0, 1, 2, ...}, tem-se P (Y > q) = P (Y = q).
Com referência a essas variáveis, julgue o próximo item.
O valor da esperança condicional E(X|Y = y) cresce à medida
que y aumenta.
Com referência a essas variáveis, julgue o próximo item.
P(X = 0) > 0,6.
Com referência a essas variáveis, julgue o próximo item.
P(X = 0, Y = 1) < 0,5.
Com referência a essas variáveis, julgue o próximo item.
Se T = X + Y representa o total diário de notificações de incidentes de segurança registrado nas referidas redes de computadores, então Var(T) ≥ Var(X) + Var(Y).
A variável aleatória X segue uma distribuição Uniforme(0;1). Na certeza de X = x, a variável aleatória Y segue uma distribuição Uniforme (0;x).
O valor esperado (esperança matemática) de XY, E(XY), é, portanto,
Em uma sala de espera da Defensoria Pública, 20 pessoas estão aguardando o atendimento. São brasileiros, todos naturais da região sudeste do país.
Supondo que o local de nascimento dessas pessoas seja aleatório, a probabilidade de que os três primeiros a serem atendidos tenham nascido em diferentes unidades da federação é igual a:
Sejam X1, X2 ..., X5 variáveis aleatórias independentes, todas normalmente distribuídas com média zero e variância unitária.
Então, é correto afirmar que:
Considere uma variável aleatória cuja função densidade de probabilidade é simétrica, em relação ao seu valor esperado e que E(X) = 20 e VAR(X) = 16. Seja a variável aleatória Y definida por Y=βX - α, com α, β ε ℝ+,onde E(Y)=0 e VAR(Y)=1.
O valor de β+α é
Um processo produz um tipo de componente elétrico cujo diâmetro, em mm, é uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade fY(y) = 6y(1 – y) para 0 < y < 1.
De acordo com essa função, a média e a variância dos diâmetros dos componentes produzidos por esse processo são, respectivamente:
Os jogadores X e Y lançam um dado honesto, com seis faces numeradas de 1 a 6, e observa-se a face superior do dado. O jogador X lança o dado 50 vezes, e o jogador Y, 51 vezes.
A probabilidade de que o jogador Y obtenha mais faces com números ímpares do que o jogador X, é:
Dentre as atribuições de um certo gerente, encontra-se o oferecimento do produto A, de forma presencial e individualizada, aos seus clientes. A probabilidade de o gerente efetuar a venda do produto A em cada reunião com um cliente é 0,40. Em 20% dos dias de trabalho, esse gerente não se reúne com nenhum cliente; em 30% dos dias de trabalho, ele se reúne com apenas 1 cliente; e em 50% dos dias de trabalho, ele se reúne, separadamente, com exatos 2 clientes.
Em um determinado dia de trabalho, a probabilidade de esse gerente efetuar pelo menos uma venda presencial do produto A é
Os analistas de uma seguradora estimam corretamente que a probabilidade de um concorrente entrar no mercado de seguro de fiança locatícia é de 30%. É certo que se, de fato, o concorrente entrar no mercado, precisará aumentar seu quadro de funcionários. Sabe-se que, caso o concorrente não pretenda entrar no mercado desse segmento, existem 50% de probabilidade de que ele aumente o quadro de funcionários.
Se o concorrente aumentou o quadro de funcionários, a probabilidade de que ele entre no mercado de seguro de fiança locatícia é de:
Em um jogo, os jogadores escolhem três números inteiros diferentes, de 1 a 10. Dois números são sorteados e se ambos estiverem entre os três números escolhidos por um jogador, então ele ganha um prêmio. O sorteio é feito utilizando-se uma urna com 10 bolas numeradas, de 1 até 10, e consiste na retirada de duas bolas da urna, de uma só vez, seguida da leitura em voz alta dos números nelas presentes.
Qual é a probabilidade de um jogador ganhar um prêmio no sorteio do jogo?
A realização de um teste requer a aquisição de um seguro de vida para cada pessoa envolvida, no valor de R$ 10.000,00 por pessoa. O valor do prêmio estabelecido pela companhia seguradora é R$ 1.000,00 por apólice. Experiências passadas indicam uma probabilidade de 0,001 de uma pessoa vir a óbito ao longo do teste.
O ganho esperado da companhia para cada apólice vendida, em reais, nessas condições, é igual a
Acerca da soma de variáveis aleatórias, avalie se as afirmativas a seguir, estão corretas.
I. A soma de n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas Bernoulli com parâmetro p, tem distribuição binomial com parâmetros n e p.
II. A soma de n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas Poisson com parâmetro λ tem distribuição Poisson com parâmetro nλ.
III. A soma de n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas exponencial com parâmetro λ tem distribuição gama com parâmetros n e λ.
Está correto o que se afirma em
O tempo, em horas, necessário para que estudantes do nono ano cheguem ao Campus Realengo II do Colégio Pedro II, é uma variável aleatória com desvio padrão igual a 42 minutos. Para realização de um estudo sobre esses estudantes, coletou-se uma amostra de 36 indivíduos.
A probabilidade de que o erro, ao realizar a estimação pontual para a média pelo método dos momentos, não ultrapasse 15 minutos, é de
A fase de exposição dos dados deve ser apresentada por meio de:
Em um jogo, uma pessoa paga 90 reais para jogar, retira aleatoriamente uma bola de uma urna, repõe a bola na mesma urna e faz nova retirada aleatória de uma bola. Na urna, temos 4 bolas brancas, 3 vermelhas, 2 azuis e 1 preta. Se o jogador retirar
Com qualquer outro resultado, o jogador não recebe nenhum valor.
Considerando-se as informações apresentadas, a média da variável aleatória discreta "Lucro do jogador" é igual a
Em um teste de hipóteses bilaterais para média de variáveis aleatórias com distribuição normal, considere α o nível de significância, T a estatística de teste e Tc um valor crítico obtido por tabela (Tc >0).
Com base nos dados apresentados, é correto afirmar que
H(X) [entropia de Shannon] pode ser vista como uma medida da quantidade média de informação contida em X ou, de forma equivalente, a quantidade de incerteza que existe até o valor de X ser revelado.
BLOCH, M.; BARROS, J. Physical-layer security: from information theory to security engineering. Cambridge: Cambridge University Press, 2011. Tradução livre.
Acerca da entropia de Shannon, e sendo X uma variável discreta aleatória, assinale a alternativa correta.
Para prevenir que um ouvinte indesejado recupere informações, o transmissor codifica sua mensagem em palavras código utilizando uma chave secreta, que é conhecida pelo legítimo destinatário, mas não pelo ouvinte indesejado. Mensagens, palavras-código e chaves são representadas pelas variáveis aleatórias M, X e K, respectivamente, e se assume que K é independente de M. A função de codificação é representada por e: M x K → X, e a de decodificação é denotada por d: X x K → M. Nós nos referimos ao par (e, d) como um esquema de codificação.
BLOCH, M.; BARROS, J. Physical-layer security: from information theory to security engineering. Cambridge: Cambridge University Press, 2011. Tradução livre.
Considere I(X; Y) = H(X) - H(X | Y), sendo X e Y duas variáveis discretas aleatórias. Acerca do vazamento de informação em uma comunicação, é correto afirmar que ele pode ser medido por
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com variâncias iguais a 21 e 17, respectivamente. Além disso, sabe-se que a variável Z representada pela diferença entre as duas tem variância igual a 44.
Com base em tais informações, é correto deduzir que:
Sejam X e Y variáveis aleatórias do tipo Bernoulli, assumindo valores x1, x2, y1 e y2 respectivamente. Também é sabido que P(X = x1 / Y = y2 ) = 0,60 e P(Y =y1 )= 0,75.
Então:
Sejam X1, X2, X3, ..., X64 variáveis aleatórias discretas, com distribuição Binomial, todas com p = 0,25 e n = 12. Também são conhecidos valores da função distribuição acumulada da normal-padrão, mais especificamente:
ɸ(2) = 0,977, ɸ(1,5) = 0,933, ɸ(1,25) = 0,894
No caso da extração de uma amostra (n = 64), a probabilidade (desprezando o ajuste de continuidade) de que a soma dos valores seja superior a 207 é igual a:
Para o caso de variáveis aleatórias quaisquer, existem diversas propriedades que se aplicam diretamente à esperança matemática e ao momento central de segunda ordem.
Dentre essas propriedades está:
Sobre as variáveis serem discretas ou contínuas, analise as afirmativas abaixo, dê valores Verdadeiro (V) ou Falso (F).
( ) A contagem do número de alunos dentro de uma sala de aula só pode ser uma variável discreta, pois é um número inteiro racional e positivo.
( ) A contagem da quilometragem de um corredor em uma pista circular é uma variável contínua, pois este valor pode assumir qualquer valor dentro do intervalo real, no caso múltiplos de π (pi).
( ) O caso do termômetro analógico (de mercúrio), a variável representada nele é uma variável discreta, pois aceita todos os valores intermediários entre duas temperaturas a e b.
Assinale a alternativa que traga, de cima para baixo, a sequência correta.
A partir de uma amostra aleatória simples de tamanho n, sabe-se que a média aritmética de uma variável X foi igual a 3. Considerando que os valores possíveis para a variável X sejam -1 e +4, julgue o item que se segue.
A distribuição da variável X é simétrica em torno da sua média
amostral.
Considere um processo estocástico, definido por uma sucessão de variáveis aleatórias {X1 , X2 , ...}. Assinale a alternativa que torna esse processo um processo de Markov.