Dada a função f (x) = 2 + 3sen(7x) , quais são o período e a imagem de f(x) ?
As Diretrizes Curriculares para o Ensino Médio (Parecer CEB nº 15/98) estabelecem como objetivos da área de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias a constituição de habilidades e competências que permitam ao educando:
I - compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculo de probabilidades;
II - identificar, analisar e aplicar conhecimentos sobre valores de variáveis, representados em gráficos, diagramas ou expressões algébricas, realizando previsão de tendências, extrapolações e interpolações, e interpretações;
III - analisar qualitativamente dados quantitativos, representados gráfica ou algebricamente, relacionados a contextos socioeconômicos, científicos ou cotidianos;
IV - identificar, representar e utilizar o conhecimento geométrico para o aperfeiçoamento da leitura, da compreensão e da ação sobre a realidade;
V - entender a relação entre o desenvolvimento das ciências naturais e o desenvolvimento tecnológico, e associar as diferentes tecnologias aos problemas que se propuseram e se propõem a solucionar.
Cada uma dessas habilidades/competências pode ser desenvolvida mais diretamente por meio de um dos tópicos de Matemática do Ensino Médio apresentados a seguir.
( ) Trigonometria
( ) Funções
( ) Informática
( ) Análise combinatória
( ) Tratamento da Informação
Associando esses tópicos do Ensino Médio com as habilidades, obtém-se, de cima para baixo, a sequência
Um ângulo em radianos igual a 1,5735 corresponde a um ângulo, em graus, igual a
Qual é o valor máximo da função f(x) = sen2 x - 2senx + 1?
O período da função x = 3sen[ 1/ 2 ( t + π ) ], onde t é a variável independente e assume qualquer valor real, é
Analise as declarações sobre funções hiperbólicas a seguir
I) senh(0) + cosh(0) = 1
II) senh(1) + cosh(1) = e
III) senh2 (π) + cosh2 (π) = 1
Está correto o que se declara em
Considere as funções f(x) 2cosx e g(x) 1+ 4 cos x , ambas de domínio real. No intervalo [0; 2π ] , um dos valores de x que satisfaz a igualdade f(x) g(x) é
Se o seno de um ângulo agudo é igual a s, então sua tangente é igual a
Lembrando que cosseno hiperbólico de x tem como expressão Cosh(t) = et + e-t /2 então, o conjunto imagem de cosh2 (t) é o intervalo real
Se o seno de um ângulo agudo é igual a s, então sua tangente é igual a
Sabendo que a equação 2x =3 sec θ , π⁄2 < θ < π define implicitamente θ como uma função de x considere a função ƒ de variável real x onde ƒ(x) é o valor da expressão 5⁄2 cos sec θ + 2⁄3 sen2 θ em termos de x. Qual o valor do (x 2√ 4x2 -9) ƒ ( x ) ?
A inequação x2 - 6x ≤2 + px+c tem como solução o intervalo [0,2] onde p, c∈ ℜ. Seja q a maior raiz da equação 4|x+1| = 16.2|x+1| - 64.
A representação trigonométrica do número complexo p + iq é
Sejam f e g funções reais de variável real definidas por f(x)= 2 - arcsen(x2 + 2x) com - π⁄ 18 < x < π⁄18 g(x) = f(3x). Seja L a reta normal ao gráfico da função g -1 no ponto (2 , g -1(2)), onde g-1 representa a função inversa da função g . A reta L contém o ponto
Uma curva apresenta arco de circunferência igual π/2 rad. Se o comprimento desse arco é de 10pm, então o raio dessa curva é igual a:
Seja x ∈ ℜ - { π⁄2 + kn; com k ∈ Z }. Então, a expressão secx.cosx - tgx.senx.cosx - cos2x , é igual a:
Sendo x um número real qualquer, a expressão (senx + cos x )2 - sen2 x é igual a
Os lados de um triângulo medem 3 cm e 4 cm e formam entre si um ângulo de 30°. É CORRETO afirmar que a área do triângulo é, em cm² , igual a
Investigações de um crime com arma de fogo indicam que um atirador atingiu diretamente dois pontos, B e C, a partir de um único ponto A. São conhecidas as distâncias: AC = 3 m, AB = 2 m e BC = 2,65 m. A medida do ângulo formado pelas duas direções nas quais o atirador disparou os tiros é mais próxima de
Para os valores nos quais a tangente está definida, vale a identidade tg(x+y) = tgx + tgy /1 -tgx . tgy .Pode-se calcular o valor da expressão M = 5 + tg128o + tg187o - tg128o . tg187o , utilizando-se essa identidade.
O valor de M é
Sejam f, g: R → R funções definidas por f(x) = sen x, g(x) = sen 2x e P(a,b) um ponto na interseção dos gráficos de f e g. Os possíveis valores para tg2 a são
Considere o triângulo XOZ, retângulo em X, onde a medida do cateto XO é 1 m. Acoplado a este triângulo construímos outro triângulo OZW, retângulo em Z, de tal modo que o seu cateto OZ é a hipotenusa do triângulo XOZ. Observe que a hipotenusa do triângulo OZW é exterior ao triângulo XOZ. Se nestes triângulos os ângulos ZÔX e ZÔW são congruentes com medida y, então a medida, em metro, da hipotenusa OW é
Se x é um arco do primeiro quadrante e sen4 x – cos4 x = 1/2 , então tgx é igual a
Considerando-se a expressão trigonométrica
x = 1 + cos 300 ,
um dos possíveis produtos que a representam é igual a
Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, z metros e (w – 2) metros. Sabendo-se que o ângulo oposto ao cateto que mede (w – 2) metros é igual a um ângulo de 450 , então o perímetro desse triângulo, em metros, é igual a
O valor mínimo da função ƒ(x) = 1 - 1⁄5 sen²(x), com x ∈ IR é igual a
Os fenômenos gerados por movimentos oscilatórios são estudados nos cursos da Faculdade de Engenharia. Sob certas condições, a função y = 10 cos(4t) descreve o movimento de uma mola, onde y (medido em cm) representa o deslocamento da massa a partir da posição de equilíbrio no instante t (em segundos). Assim, o período e a amplitude desse movimento valem, respectivamente,
As funções trigonométricas são funções angulares importantes no estudo dos triângulos e na modelagem de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário […].
Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/Função_trigonométrica
Dadas as relações sobre as funções trigonométricas,
I. sen2 x + cos2 x = 1
II. tg2 x = sec2 x – 1
III. cosec2 x = cotg2 x + 1
verifica-se que, considerando os domínios das funções envolvidas,
O valor da expressão sec(180º) +[ sen(-45º)]2 cossec(450º) + cos2(315º) é igual a:
O valor da expressão 3.cottg α. senα + 3.tg α. cosα ,
secα cossecα
com α ≠ k π; k ∈ Z, é igual a:
2
Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é igual a 20 metros e o cateto adjacente ao ângulo agudo α é igual x metros. Sabendo-se que o seno de α é igual a 0,8, então o perímetro deste triângulo, em metros, é igual a:
soma dos valores de m que satisfazem a ambas as igualdades sen x = m+1/m e cos x = m+2/m é:
Professor Roberto esta ministrando sua terceira aula de Trigonometria, interagindo com a sala, fazia algumas perguntas sobre a aula passada: "Assim, podemos dizer que sen² x + cos² é igual a?" Sabendo que a sala respondeu corretamente, qual foi a resposta?
Se tgθ = 1 e θ pertence ao primeiro quadrante, então cosθ é igual a:
Para resolver uma discussão entre dois alunos sobre a definição da função cossecante, um deles foi à Biblioteca Central. Como resultado da pesquisa, ele encontrou a definição de cossec x , que é
Se x é a medida de um arco do primeiro quadrante e se sen x = 3 cos x, então sen ( 2x) é igual a
Em Londres, Tales andou na London Eye, para contemplar a cidade. Esta roda gigante de 135 metros de diâmetro está localizada à beira do rio Tâmisa. Suas 32 cabines envidraçadas foram fixadas à borda da roda com espaçamentos iguais entre si. Então, a medida do arco formado por cinco cabines consecutivas é igual, em metros, a
O conjunto solução (S) para a inequação 2·cos 2 x + cos(2x) > 2, em que 0 < x < π, é dado por:
Julgue os itens seguintes.
O número de soluções da equação senx × cosx = cosx no intervalo [0, 2π] é igual a 2.
Um tenente do Exército está fazendo um levantamento topográfico da região onde será realizado um exercício de campo. Ele quer determinar a largura do rio que corta a região e por isso adotou os seguintes procedimentos: marcou dois pontos, A (uma árvore que ele observou na outra margem) e B (uma estaca que ele fincou no chão na margem onde ele se encontra); marcou um ponto C distante 9 metros de B, fixou um aparelho de medir ângulo (teodolito) de tal modo que o ângulo no ponto B seja reto e obteve uma medida de π/3 rad para o ângulo ACB. Qual foi a largura do rio que ele encontrou?
Tenente Jardel é um bombeiro especialista em defesa civil. Ele precisa efetuar um cálculo rápido para calcular o risco de desabamento de certo barranco. Para dar sequência aos cálculos, ele precisa calcular 4sen750 . Tenente Jardel conseguiu efetuá-lo corretamente e encontrou
Considere que o percentual iluminado da superfície da Lua, visível a partir da Terra, seja dado pela função: f(d) = 50. (1 + sen π . d /15) transcorridos a partir de uma data inicial de observação. Em relação a essa função e ao que ela representa, julgue os itens a seguir, assinalando (V) para os verdadeiros e (F) para os falsos.
A observação teve início em uma noite de lua cheia.
Considere que o percentual iluminado da superfície da Lua, visível a partir da Terra, seja dado pela função: f(d) = 50. (1 + sen π . d /15) transcorridos a partir de uma data inicial de observação. Em relação a essa função e ao que ela representa, julgue os itens a seguir, assinalando (V) para os verdadeiros e (F) para os falsos.
Durante a primeira semana da observação, a Lua estava em sua fase crescente.
Considere que o percentual iluminado da superfície da Lua, visível a partir da Terra, seja dado pela função: f(d) = 50. (1 + sen π . d /15) transcorridos a partir de uma data inicial de observação. Em relação a essa função e ao que ela representa, julgue os itens a seguir, assinalando (V) para os verdadeiros e (F) para os falsos.
No dia tal que d = 60, a lua estará em quarto crescente.
Considere que o percentual iluminado da superfície da Lua, visível a partir da Terra, seja dado pela função: f(d) = 50. (1 + sen π . d /15) transcorridos a partir de uma data inicial de observação. Em relação a essa função e ao que ela representa, julgue os itens a seguir, assinalando (V) para os verdadeiros e (F) para os falsos.
A função está longe da realidade observada, pois o período lunar representado por ela difere do real por mais do que dois dias.
Considere que o percentual iluminado da superfície da Lua, visível a partir da Terra, seja dado pela função: f(d) = 50. (1 + sen π . d /15) transcorridos a partir de uma data inicial de observação. Em relação a essa função e ao que ela representa, julgue os itens a seguir, assinalando (V) para os verdadeiros e (F) para os falsos.
A lua nova ocorre apenas para d = 22,5.
Considerando a equação trigonométrica 2cosx – 3tgx = 0, o valor da expressão 4cos 2 x – 4senx é igual a
Seja x real tal que cos x = tan x . O valor de sen x é
Das afirmativas a seguir podemos dizer que a única verdadeira é:
É correto afirmar que a soma das soluções da equação | sen x | = 0,5 , sendo que 0 ≤ x ≤ 2 π , é igual a
Considere a função F(t) = 0,8 sen(24Πt), em que t ≥ 0, e, a partir dela, defina P(t) = 10 – 5 F(t + 1/48). Com base nessas informações, julgue o próximo item.
Considerando-se que t1 ≤ t2 sejam números positivos, consecutivos, tais que F(t1) = F(t2), é correto afirmar que t2 – t1 < 1/12.
Considere a função F(t) = 0,8 sen(24pt), em que t ≥ 0, e, a partir dela, defina P(t) = 10 – 5 F(t + 1/48). Com base nessas informações, julgue o próximo item.
No intervalo [0, 1], existem mais de 20 valores de t para os quais F(t) = 0.
Considere a função F(t) = 0,8 sen(24pt), em que t ≥ 0, e, a partir dela, defina P(t) = 10 – 5 F(t + 1/48). Com base nessas informações, julgue o próximo item.
Nos pontos t em que F(t) é máximo, P(t) é mínimo.
Considere a função F(t) = 0,8 sen(24pt), em que t ≥ 0, e, a partir dela, defina P(t) = 10 – 5 F(t + 1/48). Com base nessas informações, julgue o próximo item.
Para todo t ≥ 0, tem-se que F(t) ≤ 1.
Considere a função F(t) = 0,8 sen(24pt), em que t ≥ 0, e, a partir dela, defina P(t) = 10 – 5 F(t + 1/48). Com base nessas informações, julgue o próximo item.
Para algum t0 ≥ 0, tem-se que P(t0) ≤ 5.
Se 0 ≤ x < 2π, então o conjunto solução da equação sen(x) =√1 - cos2 x é
Os ângulos x, y e z medem 30°, 45° e 60°, não necessariamente nessa ordem, e são tais que sen x = cos x, sen y > cos y, e tg z = 2/3 . cos z.
Desse modo, conclui-se que
Qual o período da função real de variável real f(x) = 1 - 3cos(πx + 5)?
Calcule o valor de t na igualdade abaixo.
t = 2 • (sen (1 5 ° ) + cos (7 5 ° ) )
A expressão E = √ 2 (cos13° + sen13°) é equivalente a
Se x, y e z são números reais positivos, menores que π/2, cuja soma é x + y + z = π, então, a soma tg x + tg y + tg z será igual a
Qual das afirmativas abaixo está errada?
Deseja-se trabalhar com a curva r = 1 + 2 cos θ, dada em coordenadas polares.
Sobre a situação exposta, assinale a alternativa CORRETA.
Seja θ um arco do primeiro quadrante, tal que tg θ = 3.
Sabendo-se que sec θ = 1/cos θ, desde que cos θ ≠ 0, quanto vale sec (2θ)?
Sabe-se que a função f(x) = sen x é uma função ímpar, enquanto a função g(x) = cos x é uma função par. Dada a equação: cos x · cos (–x) – sen (–x) · sen x = tg x, verifica-se que uma das soluções dela é igual a
Ao simplificar a expressão (1 + cos x)(1 – cos x), tem-se
Se sen α. cos β = 4/13 e sen β . cos α = 36/65, então sen (α + β) é igual a
O valor de 7π/30 rad em graus é
A sequência (sen90º, x, sen150º, y)é uma progressão aritmética formada por quatro números reais. O valor de (x + y) equivale a:
Resolvendo corretamente a equação trigonométrica 2sen(2x)= sen(x), x∈[0,2π], determina-se o conjunto solução com exatamente telementos. O valor de té igual a:
Assinale a alternativa que não contém um valor positivo:
Assinale a alternativa CORRETA, que traz a defasagem angular entre as funções y=sen(x) e y=cos (x):
Se 0 ≤ x < 2π e sen x= 1/ 2 , determine os possíveis valores de cos x:
O número de soluções da equação cos ( 8x) = sen (2x) + tg2(x) + cotg2(x) no intervalo [ 0, 2π ] é
Se sen θ = √5/3, 0 < θ < π/2, então cosθ é igual a
Considere que P(t) = 100 -20 sen (8/3πt + π/2) representa a pressão sanguínea P(em mmHg) de certo indivíduo, em função do tempo t (ems).
O valor de P(em mmHg), quando t = 3/8 s é igual a
A diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da função y = 10 / 9 + 5 sen (35x) é
Dada uma função com domínio D, ela possui inversa se, e somente se, for bijetora. Partindo dessa premissa, nem todas as funções trigonométricas possuem inversas em seus domínios de definição, já que para um valor da função correspondem infinitos valores de
x (x = 2kπ, k ∈ Z). Porém nós podemos tomar subconjuntos desses domínios D para gerar novas funções que possuam inversas.
Vejamos: A função inversa de
f, denominada arco cujo seno, definida por f -1 : [ -1; +1] → [ -π/2; + π/2] , é denotada por f -1 ( x ) = arcsen ( x ) e a função inversa de g, denominada arco cujo cosseno, definida por g-1 : [ -1 ; + 1] → [ 0 ; π ] , é denotada por g-1 ( x ) = arccos ( x ). Sendo assim, podemos afirmar que os gráficos das funções f -1 (x) e g-1( x ) são, respectivamente,
Se sen(x) = 0,6, para 0 < x < π/2, então 4tg(x) é igual a:
Sejam f : R→R e g : R→R funções deriváveis. Se f é invertível, f(0) = 2, g'(2) = 3 e g(f(x)) = arctg(x), para todo x ∈ R, então (f –1)'(2) = 4.
Para responder a essa questão, considere as funções reais f(x) = sen x e g(x) = 1/2 + cos x.
No intervalo [0, 2π], as curvas que representam graficamente as duas funções intersectam-se uma
única vez.
Seja arcsenx + arcseny + arcsenz = 3π/2 , onde x,y e z são números reais pertencentes ao intervalo[ - 1, 1]. Determine o valor de x100 + y100 + z100 - 9/x101+ y101 + z101.
O valor de y = sen700 cos500 + sen2600 cos2800 é:
Na equação tan(x) = cot(x) em R, onde 0 < x < π/2 , o valor de x é
Num laboratório, sensores são colocados no topo de dois pistões para analisar o desempenho de um motor. A profundidade do primeiro pistão no bloco do motor pode ser descrita, de maneira aproximada, pela expressão H1 = 12 cos(2 πt/60) , e a profundidade do segundo, pela expressão H2 = 12 sen (2 πt/60) , sendo t o tempo medido em milissegundos a partir do acionamento do motor. Quanto tempo levará para que os pistões estejam na mesma profundidade, pela primeira vez, após o acionamento do motor?
O valor correspondente ao cos 15º é
No ciclo trigonométrico os valores de x, tais que cos x ≤ 1/2 , são
O domínio da função f ( x ) = tg ( 2x - 3π/2) e a imagem de g ( x ) = sec x são dados, respectivamente, por:
Sabe-se que existem números reais A e x0 , sendo A > 0 tais que
sen x + 2 cosx = A cos(x- x0)
para todo x real. O valor de A é igual a
Assinale a alternativa correta:
Assinale a alternativa correta
Sabendo que π < x < 3π/2 e sen (x) = -1/3 , é correto afirmar que sen (2x) é:
O período e a imagem da função periódica f: R →R definida por f(x) = cos2x – sen2x, são respectivamente,
Os valores de x ∈ [0, 2π] que satisfazem a equação 2 sen x - cos x = 1 são
Leonhard Paul Euler foi um grande matemático e físico que viveu no Século XVIII. Euler fezimportantes descobertas no conjunto dos Números Complexos. Uma delas foi a fórmula:
eiθ = cos (θ) + i sen (θ)
Onde, θ é um número real qualquer e i= √−1 é a unidade imaginária. Assim: